tienes que estudiar dos integrales $\int_0^1 e^{1/x} x^2 dx$ porque la función tiende a $\infty$ en 0 y la integral $\int_1^\infty e^{1/x} x^2 dx$. La segunda diverge porque el límite de la función en $\infty$ es $\infty$, no necesitas la derivada. Y la primera diverge porque, por ejemplo, la comparas con $\int \frac{1}{x^2} dx $ (que diverge) viendo que $\lim_{x\to 0^+} \frac{e^{1/x)} x^2}{1/x^2}=\infty$.